การใช้งานที่ไม่มีที่สิ้นสุดของสมดุลของแนชอธิบายว่าเหตุใดจอห์น แนชจึงเป็นอัจฉริยะ

ผู้ได้รับรางวัลโนเบล จอห์น เอฟ. แนช จูเนียร์ เสียชีวิตจากอุบัติเหตุทางรถยนต์เมื่อวันอาทิตย์

แนวคิดของดุลยภาพแนชเป็นไปโดยสัญชาตญาณ สง่างาม และค่อนข้างเข้าใจง่าย มีความเฉพาะเจาะจงเพียงพอที่จะสร้างผลลัพธ์และการวิเคราะห์ที่มีความหมาย แต่ยังกว้างพอที่จะขยายและนำไปใช้กับสาขาวิชาต่างๆ

John F. Nash Jr เสียชีวิตจากอุบัติเหตุทางรถยนต์เมื่อวันอาทิตย์ เขากำลังเดินทางกลับบ้านจากสนามบินนวร์ก เพิ่งกลับมาจากนอร์เวย์ ซึ่งเขาได้รับรางวัลอันทรงเกียรติ Abel Prize for Mathematics งานของแนชเกี่ยวกับทฤษฎีเกม ซึ่งเขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี 1994 — เขาเป็นคนเดียวที่ได้รับรางวัลทั้งสองรางวัล — น่าจะเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดของเขา แนวคิดของดุลยภาพแนชเป็นไปโดยสัญชาตญาณ สง่างาม และค่อนข้างเข้าใจง่าย มีความเฉพาะเจาะจงเพียงพอที่จะสร้างผลลัพธ์และการวิเคราะห์ที่มีความหมาย แต่โดยทั่วไปเพียงพอที่จะขยายและนำไปใช้กับสาขาวิชาต่างๆ เช่น ชีววิทยาวิวัฒนาการ เศรษฐศาสตร์ การศึกษาการป้องกันตัว และการเมือง แต่ชุมชนคณิตศาสตร์ถือว่างานของเขาในเรขาคณิตและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยมีความสำคัญและลึกซึ้งที่สุดของเขา ตามการอ้างอิงจากรางวัล Abel Prize ของเขา

เป็นเรื่องน่าเหลือเชื่อที่ทั้งงานที่ได้รับรางวัลโนเบลและรางวัลอาเบลของแนชได้เสร็จสิ้นลงเมื่อตอนที่เขาอายุ 30 ปี เขาเขียนบทความเพียง 23 หน้าในปี 2501 เกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วน และดังที่ Harold W Kuhn ได้กล่าวไว้ในระหว่างการสัมมนาโนเบลในปี 1994 ผลงานที่เขาได้รับเกียรติในสัปดาห์นี้ได้รับในช่วง 14 เดือนแรกของการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา อันที่จริง แนชมาที่พรินซ์ตันในฐานะนักศึกษาระดับปริญญาเอกด้วยจดหมายแนะนำหนึ่งบรรทัดจากอาร์ แอล ดัฟฟิน แห่งสถาบันเทคโนโลยีคาร์เนกี ซึ่งเขาเป็นนักศึกษาระดับปริญญาตรี: ชายคนนี้เป็นอัจฉริยะ A W Tucker ที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์ของ Nash ในเมืองพรินซ์ตัน เขียนหลายปีต่อมาว่า บางครั้งฉันคิดว่าคำแนะนำนี้ฟุ่มเฟือย แต่ยิ่งฉันรู้จักแนชนานเท่าไร ฉันก็ยิ่งมีแนวโน้มที่จะยอมรับว่า Duffin พูดถูกมากขึ้นเท่านั้น

แต่ในช่วงต้นปี 2502 แนชเริ่มควบคุมตัวเองไม่ได้และเริ่มแสดงอาการของโรคจิตเภท เขากลายเป็นคนหวาดระแวงและหลงผิด และนอกเหนือจากในช่วงเวลาสั้น ๆ ของความชัดเจน งานวิจัยของเขาสิ้นสุดลงเป็นเวลาประมาณสี่ทศวรรษ ในช่วงเวลาเดียวกันนี้ ชื่อของแนช เกมที่ไม่ร่วมมือกันซึ่งเขาให้รูปแบบและคำจำกัดความ และแนวคิดเรื่องสมดุลของเขาได้กลายเป็นส่วนหนึ่งของการฝึกอบรมทฤษฎีเกมขั้นพื้นฐานในระดับปริญญาตรี

แล้วเกมที่ไม่ร่วมมือกันคืออะไร? ไม่ใช่เกมที่ความร่วมมือถูกตัดออกเนื่องจากโครงสร้างของผลตอบแทน เช่น ในเกมที่ไม่มีผลรวม ซึ่งผลประโยชน์ของผู้เล่นคนหนึ่งหมายถึงการสูญเสียของอีกคนหนึ่ง อาจมีขอบเขตสำหรับความร่วมมือในเกม แต่ถูกตัดออกเนื่องจากไม่มีกลไก เช่น สัญญาที่มีผลผูกพันทางกฎหมาย เพื่อให้แน่ใจว่าความมุ่งมั่นในกลยุทธ์การสมรู้ร่วมคิด

เกมที่ไม่ร่วมมือกันที่ง่ายและโด่งดังคือภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกของนักโทษ (ภาพด้านบน) สมมติว่าผู้สมรู้ร่วมคิดสองคนถูกจับและสอบปากคำพร้อมกันในห้องแยกกัน แต่ละคนมีทางเลือกที่จะสารภาพหรืออยู่เป็นแม่ต่อไปได้ และได้รับข้อเสนอข้อตกลง: ถ้าเธอสารภาพ (แต่คู่ที่ก่ออาชญากรรมไม่ทำ) เธอสามารถไปเป็นสกอตได้ในขณะที่ผู้สมรู้ร่วมคิดจะถูกจำคุกเป็นเวลา 10 ปี แต่ถ้าทั้งคู่เลือกที่จะนิ่งเงียบ พวกเขาจะถูกจำคุกเป็นเวลาหนึ่งปีในข้อหาก่ออาชญากรรมเล็กๆ น้อยๆ และถ้าทั้งคู่สารภาพ พวกเขาจะถูกจำคุกคนละแปดปี

ความสมดุลของ Nash ที่ไม่เหมือนใครของเกมเป็นที่ที่ผู้เล่นทั้งสองสารภาพ น่าสนใจทั้งคู่จะดีกว่าถ้าไม่สารภาพ แต่นั่นไม่ใช่สมดุลของแนช ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นสถานะที่มั่นคง ซึ่งไม่มีผู้เล่นคนใดสามารถปรับปรุงผลลัพธ์สำหรับตัวเองได้ เนื่องจากสิ่งที่ผู้เล่นคนอื่นกำลังทำอยู่ ชั่วขณะหนึ่งถือว่าผู้เล่นทั้งสองระบุว่าพวกเขาจะเลือกที่จะไม่สารภาพ ในสถานการณ์เช่นนี้ เนื่องจากผู้เล่น ข ไม่ได้สารภาพ ผู้เล่น ก จะดีกว่าโดยการปฏิเสธและเลือกที่จะสารภาพแทน — ไม่มีเวลาติดคุกที่น่าดึงดูดใจมากไปกว่าการถูกคุมขังหนึ่งปี เช่นเดียวกับผู้เล่น B ดังนั้น ทั้งคู่จึงเบี่ยงเบนจากคำมั่นสัญญาที่จะเงียบและสารภาพแทน

แอพพลิเคชั่นของ Nash equilibria และเกมที่ไม่ให้ความร่วมมือนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น บางคนในอินเดียตั้งข้อสังเกตว่าวันนี้ ทุนส่วนตัวดูเหมือนจะรอให้วงจรการลงทุนเริ่มต้นขึ้นก่อนที่จะลงเงินของตัวเอง สถานการณ์นี้สามารถจำลองให้เป็นเกมที่ไม่ร่วมมือกันระหว่างนักลงทุนที่มีศักยภาพสองคน ซึ่งผลประโยชน์ของการลงทุนจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อทั้งคู่จมเงินของพวกเขา ในเกมดังกล่าว มีสมดุลของแนชอยู่สองจุด: หนึ่งซึ่งผู้เล่นทั้งสองลงทุน และสองที่ซึ่งทั้งสองไม่ลงทุน เราดูเหมือนจะติดอยู่ในสมดุลที่ไม่ดี และในขณะที่แนชสามารถพิสูจน์การมีอยู่ของสมดุลอย่างน้อยหนึ่งเกมสำหรับเกมที่ไม่ร่วมมือ ทฤษฏีกลับไม่ใส่ใจว่าทำไมเกมใดเกมหนึ่งจึงให้ผลลัพธ์ ไม่ใช่เกมอื่น นี่คือที่มาของการปกครอง สังคม และบรรทัดฐาน — เพื่อผลักไสเราจากสมดุลที่ไม่ดีให้กลายเป็นดี

parth.mehrotra@expressindia.com

แบ่งปันกับเพื่อนของคุณ: